赖登塔尔（Hans Freudenthal）：人们用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学教育应当以“数学”内容为核心，数学课堂教学的优劣应当以学生是否能学好数学为依托，教学手段必须为数学内容服务，数学教学的设计的核心是如何体现“数学的本质”、“精中求简”、“返朴归真”，呈现数学特有的“教育形态”。教学主线承载着教学内容，可以从多种形式贯穿：本文就从以下几方面：以问题为主线，以变式为主线，以情境为主线，以本质为主线等进行阐述。
一．以问题为主线-----“步步为营”
问题是数学的心脏。数学知识的发生，发展，乃至理解、运用，都离不开数学问题的介入、引申。适当通过讲数学故事、设置问题悬念、多媒体动态演示等手段，生动、直观、形象地呈现问题，引发学生的学习兴趣、认知冲突和探究的欲望。——省学科教学建议
例：合并同类项
已知多项式：2x2+3x+x2-3x2-2x+2
（1）当x=0时，值为多少？
（2）当x=1时，值为多少
对于多项式：2x2+3x+x2-3x2-2x+2
学生还在一一用计算器算，老师说能快速算出吗，而且学生举出当X取不同值时，老师依然说能很快算出。为什么会算得这么快？
怎样才能算得更快呢，从而引出课题
为什么会算得这么快无论x取何值，加上2即可。
怎样才能算得更快呢？
评析：“合并同类项”是给多项式减肥，能使运算更简便！本堂课就紧紧的围绕着问题的提出，问题的认识，问题的分析，问题的解决进行，当问题再次展出时学生就能轻易求解，整堂课也就圆满的画上了句号。这让我想起波利亚所说：学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深刻。一颗数学思维的种子，不管我们是有心还是无意，只要播进了学生的心田，它就会以别人难以感知的方式存活、生长起来，而且，它的果实会成倍地膨胀。透过习以为常的现象，我们是否该再次认真思考——何为“数学”？何为“有用的数学”？我想从上述片断中已作了绝妙的诠释。
二．以变式为主线-------“引人入胜” 。
变式的练习更有利于培养学生的创新思维和拓展能力，提高。其对知识举一反三，独立运用的能力。——省学科教学建议
我们又该如何有针对性地上好一堂复习课？复习时做题不能一头扎进题海中，只为做题而做题，所谓‘做十题不如钻一题’，应该充分挖掘每一个题潜在的功能，进行变式拓展，对典型的例、习题要认真探索一题多解、一题多变、一图多用、一题多思等等，做到解题后勤反思。掌握通法，熟练提高常规题的解答速度，确保准确率，对例习题作适当变式，让学生练习，尝试举一反三。
一堂复习课就是围绕着拿出基本模型，接着通过变式，或变条件，或变结论等贯穿整堂课。如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
变式1：改变条件，挖掘内在联系
如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结CD、BE。
（1）求证：BE=DC
（2）求直线猜想CD与直线BE的夹角
评析：万变不离其宗，揭示问题的实质；通过变式题使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力。
变式2：根据结论，探究条件
如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的
同侧作等边三角形ABD,ACE,BCF
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形
（2）探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当△ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在？
评析：此题考查知识点丰富，培养了学生思维的全面性与创新性，空间想象能力、逻辑推理能力；渗透了“分类与转化”的数学思想方法，同时也体现数学的整体性 。正如张奠宙教授的比喻：教师充当导游的角色，拿着旗子在前面喊，一队学生跟在后面走，学生必须细听讲解，而无法停下脚步按照要求进行观赏，用自己的头脑进行思考，学生的学习只是走马观花，没有切身体验教学效果，往往只停留于模仿和记忆上，创新性也就谈不上了。而试卷的每一个题都承载着考查相应的知识、技能、思想方法和应用能力的一种（单一的基础题）或几种（解答题、综合题）的任务。试题可以千变万化，但所考查的内容却是规定的、有限的，我们应透过试题的表面，充分认识其本质，做到以不变应万变、以有限对无限
正如米山国藏（日本著名数学教育家,学者）指出: 在学校学的数学知识,毕业后若没什么机会去用,一两年后,很快就忘掉了.然而,不管他们从事什么工作,唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等,却随时随地发生作用,使他们终生受益.
三．以情境为主线-----“活化课堂”。
“众里寻他千百度”生活味与数学味适度调剂——凸显数学本色
用绝大多数学生熟悉的事例和能理解的问题引入新课。从数学在生产、生活及其他学科中的实际应用出发……激发学生探究的积极性。 ——省学科教学建议
案例:小红的爸爸因公出差，5天没回家，回家后一次撕下这5天的日历，这5天日期相加的和是90。小红的爸爸回家这天是几号？
90÷5＝18 16、17、18、19、20，
小红爸爸回家的这天是21号。
“这5天会不会是月底和月初的5天呢？
28、29、30、1、2
28、29、30、31、32
90+60=150 150÷5＝30，中间的一个数是30。
小红爸爸回家这天是3号
? 5天中一定是上月底3天，下月初2天吗？如果上个月是31天，如何使它变成5个连续自然数呢？和又增加了多少呢？中间的一天又怎么求呢？……
评析:课堂教学的重要特点是动态生成，预设是重要的，但预设再充分，也不可能预见课堂教学中所有可能发生的一切。而活动课应“活”而有度，如果对这道题枚举起来，不仅费时多，而且学生的“脑袋”也容纳不下，因此，以问促思，让学生头脑中留下一个解题思路，让学有余力的学生课后探求。课堂效率取得了最大化。 要用学生的眼光去看生活，并从教学法的角度去加工原始素材，设计出一些可亲可近的、更能表现“数学的文化价值”的数学情境，并以这些情境为主线去设计教学，必能充分调动学生原有的生活经验，激发由情境引起的数学意义的思考。正如马克斯?凡?劳厄（德国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者）也指出：教育的真谛是“所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”
四．以数学本质为主线------“美化课堂”。
教师主导引领，课堂变成探究舞台，学生主体歌舞。 数学活动与数学思维有效结合——提升数学本质。首先，“活动教学”不应单纯理解为操作和实践活动，而应理解并更加注重“数学上的活动”，其次，教师要重视对操作活动的内化 。数学的本质是数学教学目标和教学设计的灵魂,抓住了数学学科的本质等于抓住了教学内容的精髓。张奠宙说过：课堂教学中要揭示数学本质。数学本质其内涵是注重数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼和数学理性精神的体验。
案例：在学习工程问题时，我设计了这样一道习题：“数学课上，蒋老师让学生做一道应用题，但题目只写了‘学校需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天……’，于是蒋老师要求学生把留下的部分补齐，并进行解答，看谁的问题设计得既切合实际，又有深度？”
评析：整堂课就围绕着这道题不同的条件设计并加以解决展开的。本题是一个条件和结论均开放的应用性问题，学生有着广阔的猜想、假设的空间，而这也是学生思维的难点。所以可通过小组合作学习的形式，展示各自的解题策略，同时又分享了别人的优点，能从多角度、多侧面寻找解题的途径，取得了很好的教学效果。 从学生实际出发，呈现学生熟悉的、简明的、有利于引向数学实质的问题，引导学生积极思考、探索。 ——省学科教学建议
教师应在平时教学中提炼思想，告诉学生，使学生明白之其然而知其所以然的道理。弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”他认为：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。也只有通过“数学化”的途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系的、富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。
总之，突出主线 ，让数学思维自然地流淌，教师倾注激情，课堂变成诉情
舞台，学生融合互动。唯有教师的高屋建瓴、渊博学识、机智创新、用心用功、执着追求。才有学生的群心涌动、豁然开朗、心灵性巧、乐在其中、回味无穷。也只有富有艺术的教育，才能彰显它生命的活力，才能展现出满园艳花竞相开放，浩荡长江百舸争流，高山流水源远流长。
参考文献：
[1] 张奠宙,黄荣良. 建设符合中国国情的合作学习[J]
[2] 孙双金 《设计教学主线的艺术》
[3] 荷?弗赖登塔尔 《作为教学任务的数学》《数学化》
[4] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)和《省学科教学建议》
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