在初三数学复习中,我们总想到利用较短的时间取得较好的效果,重点是精选例题和习题,搞题海战术,得不偿失。在中考中总有源于课本例题和习题,利用课本例题或习题进行横向、纵向拓展,抓好系列题目的训练是一个行之有效的方法,能收到事半功倍的教学效果。 如原题:如图(1)已知AB是⊙O直径上一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为O,求证, AC平分∠DAB,即∠ABC=∠ADC 评注:这是一道较简单的题目,有好 几种方法:可以连结BC利用直径所 对圆圈角是直角,再利用互余算式、 弦切角定理等从而得证;也可以连结 OC利用切线的性质得证。 现进行原题拓展: 1、把原题横向拓展 (1)把原题中的切线向上平移改为⊙O的割线,其它条件不变(如图2),求证:∠ABC2=∠A。 评注:此题仍可利用原题的证明,连结BC2,则∠AC2B=900,又∠AC1D=∠B,可得证。 (2)把原题中的切线继续向下平移,变为与圆相离,此直线记为L,提出问题,怎样在此直线上找出 一点C使∠ABC=∠ADC 评注:此题的解法由前2小题的解法 得到启发:作OE⊥L交⊙O于F,连 结AF并延长交L于C,则点C即为 所要找的点C(证明略)。 1、纵向拓展: (1)若原题条件不变,可以增加结论,求证:AC2=AB·AD 评注:只要证△ABC∽△即可。 (2)若将原题中条件稍加变化,可改为AB为⊙O直径,CD为⊙O切线,E为切点,AC⊥CD,BD⊥CD ①求证:AC+BD=AB,OC=OD (如图4) ②若设AC=a CD=b BD=c 求证:CE、DE是一元二次方程x2-bx+ac=0的两根 评注:①中连结OE,证AC+BD=2OE=AB ②中只需证CE·DE=ac=AC·BD △ACE∽△EDB即可。 (3)若将CD向上移动与⊙O相交于E、F,则可得到AB为⊙O直径,直线CD交⊙O于E、F,AC⊥CD于C,BD⊥CD于D。 ①求证:CE=DF ②若AC=a,CD=b,BD=c,求证:tan△CAE、tan△CAF是方程ax2-bx+c=0的两根(如图5) 评注:由tan△CAE= tan△CAF= 由tan△CAE+ tan△CAF= =……= ,tan△CAE·tan△CAF= (4)若将CD继续多化:把上面图形结合起来,又可得到(如图6) P为⊙O外一点,割线PA过圆心O,PC切⊙O于C,AM⊥PC于M,BN⊥PC于N,CO⊥PA于D,若AB=15, sinP是方程25x2-5x-6=0的一个根,求PA 及△PCD的外接圆和内切圆的半径。 评注:由方程可解得sinP= ,可得有关线段 的比,由前面可得启发,如连结OC,得 MC=CN,连结AC,得AC平分△MAD,可得 MC=CD=CN,连结BE,可得矩形和直角三角形,可得求解。 以上这些题目,由简到繁,组合在一起,使学生智力得到开发,举一反三,提高解题能力,可大大提高复习效果。 |